El modelo de probabilidad lineal(MPL)
Los modelos de probabilidad lineal expresan la variable dicotómica dependiente como una función lineal de las variables explicativas puesto que la esperanza matemática condicional de Yi dado Xi puede interpretarse como la probabilidad condicional de que el evento ocurra dado Xi. Es decir, Pr (Yi = 1 / Xi).
- No normalidad de las perturbaciones ui. Aunque el método de MCO no requiere que las perturbaciones ui estén normalmente distribuidas, hemos supuesto que lo están con fines de inferencia estadística, es decir, para efectos de llevar a cabo pruebas de hipótesis, etc. Sin embargo, el supuesto de normalidad de los ui no es válido para los modelos MPL debido a que como ocurre con los Yi, los ui toman sólo dos valores.
Ui = Yi – b1 – b2 Xi
Yi = 1 ui = 1 – b1 – b2 Xi
Yi = 0 ui = - b1 – b2 Xi
Obviamente, no podemos suponer que los ui estén normalmente distribuidos, en realidad, los ui siguen una distribución binomial.
- Varianzas heterocedásticas de las perturbaciones. La homocedasticidad o igual dispersión de ui implica que las poblaciones de Y que corresponden a los diferentes valores de X tienen la misma varianza. Esta condición es un requisito de MCO y no se satisface para los MPL. Esto implica que no puede garantizarse que los estimadores de E (Yi / Xi) cumplan la restricción de que dicha esperanza debe estar entre cero y uno. Este es el mayor problema de la estimación de MPL por MCO.
- Valor cuestionable de R2. El valor del R2 es limitado en los modelos de respuesta dicotómica. Veámoslo: si existe un Y = 0 ó 1 por cada X dado. Por tanto, todos los valores de Y se encontrarán a lo largo del eje X o a lo largo de la línea correspondiente a 1. Por tanto, ningún MPL ajustará adecuadamente esta dispersión de datos. Como resultado, el R2 calculado convencionalmente probablemente será muy inferior a 1.
El problema fundamental con el MPL es que no es desde el punto de vista lógico un modelo muy atractivo puesto que asume que la probabilidad aumenta linealmente con X, lo cual implica que el incremento marginal o incremental de X permanece constante todo el tiempo. Si consideramos el problema de la opción de tenencia vemos que este modelo es poco realista para explicarlo porque se esperaría que Pi tuviera una relación no lineal con Xi: para un ingreso muy bajo, una familia no podrá poseer casa propia pero a un nivel de ingreso suficientemente alto es muy probable que sí. Cualquier aumento del ingreso por encima de X* tendrá poco efecto sobre la probabilidad de poseer una casa. Por lo tanto, lo que necesitamos es un modelo probabilístico que tenga las siguientes características: 1) a medida que Xi aumenta, Pi aumenta, pero nunca se sitúa fuera del intervalo 0-1 y 2) la relación entre Pi y Xi no es lineal, es decir, que se acerca a cero a tasas cada vez menores a medida que Xi se hace pequeña y que se acerca a 1 a velocidades cada vez más lentas a medida que Xi se hace muy grande. La función que se asemeja mucho a esta distribución es la función de distribución acumulativa de una variable aleatoria. Las funciones de distribución acumulativa que se escogen comúnmente para representar los modelos de respuesta 0-1 son 1) las de función logística y 2) la normales, donde las primeras doan origen al modelo logit y las últimas al modelo probit.
El modelo Logit
El modelo del punto anterior
Pi = b1 + b2 Xi + ui
también podría expresarse de otra manera
Pi = 1 / (1+e) -zi
donde
Zi = b1 + b2 Xi
La ecuación representa lo que se conoce como función de distribución logística (acumulativa). Puede verificarse que dado que zi está entre -∞ y +∞, Pi está entre cero y uno y que Pi está relacionada en forma no líneal con Zi, satisfaciendo así los dos requisitos considerados anteriormente. Pero parece que al satisfacer estos requisitos hemos creado un problema de estimación, puesto que Pi es no solamente no lineal en X sino también en las b. Esto significa que ya no podemos utilizar el procedimiento de MCO ya conocido para estimar los parámetros. Sin embargo, este problema es más aparente que real puesto que el nuevo modelo es intrínsecamente lineal. Dado que
Pi = 1 / (1 + e –zi)
entonces la probabilidad de no poseer una casa es
1 – Pi = 1 / (1 + ezi)
y podemos escribir
Pi / (1 – Pi) = (1 + ezi) / (1 + e-zi) = ezi
tomando logaritmo natural de ezi obtenemos
Li = Zi = b1 + b2 Xi
es decir L, el logaritmo de la razón de las dos probabilidades, no solamente es lineal en X sino lineal también en los parámetros. Este es el modelo Logit.
El modelo Probit
Para motivar el modelo probit supongamos que la decisión de una familia de poseer una casa depende de un índice de conveniencia no observable Ii que se determina por medio de una variable explicativa, por ejemplo el ingreso, Xi de tal manera que cuanto mayor sea el valor del índice Ii, mayor será la probabilidad de que la familia posea una casa. Es razonable suponer que para cada familia existe un nivel crítico o de umbral del índice, que se podría denominar I*, tal que si Ii excede I*, la familia poseerá una casa, de lo contrario no. El umbral I* no es observable pero si suponemos que posee una distribución normal con el mismo promedio y varianza, es posible estimar no solamente los parámetros del índice dado sino también obtener alguna información sobre el índice mismo no observado.
Dado el supuesto de normalidad, la probabilidad de que I* sea inferior o igual a Ii se puede calcular con base en la función de distribución probabilística acumulada normal estandarizada. Pi representa la probabilidad de que un evento ocurra, en este caso la probabilidad de poseer una casa, P se mide por el área de la curva normal estándar desde -∞ hasta Ii. Ahora, para obtener la información sobre Ii, el índice de utilidad, como también de b1 y b2, tomamos el inverso de Pi que es igual a
Ii = b1 + b2 Xi
Conclusiones
El modelo de probabilidad lineal lógicamente no es un modelo muy atractivo puesto que supone que las probabilidades condicionales aumenten linealmente con las variables explicativas. Es más factible que las probabilidades tiendan a disminuir a medida que aumenten o disminuyan indefinidamente los valores de las variables explicativas. Por tanto, lo que necesitamos es un modelo probabilístico que tenga una forma de S para la función de distribuciones probabilísticas acumulativas.
Aunque la escogencia de dicha función es bastante amplia, en la práctica se puede escoger entre la función logística y la normal, dando origen la primera al modelo logit y la última al modelo probit.
Tanto los modelos logit como los probit garantizan que las probabilidades estimadas se encuentren dentro del rango 0-1 y que no estén relacionadas linealmente con las variables explicativas. De estas dos, la función logit es ligeramente menos complicada de utilizar porque al tomar el logaritmo de la razón de la probabilidad a favor de lo que parece ser un modelo altamente no lineal se convierte en lineal en los parámetros pudiéndose estimar por MCO. En el probit se nos exige invertir la función acumulativa normal produciendo errores de aproximación, a no ser que se cuente con una rutina computarizada disponible fácilmente.
Cabe destacar que ambos modelos sufren de heterocedasticidad y que el R2 medido convencionalmente tiene un valor limitado para evaluar la bondad del ajuste. Entonces se sugiere la prueba Ӽ2.
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